Loi de probabilité

On considère une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues notées \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\).
On a donc \(\Omega=\{x_1;x_2;...;x_n\}\).

Définitions

On définit une loi de probabilité sur \(\Omega\) en associant à chaque issue \(x_i\) un nombre réel \(p_i\), compris entre \(0\) et \(1\), tel que \(p_1+ p_2+~...~+~p_n=1\).
La probabilité d'un événement \(\text{A}\), notée \(P(\text{A})\), est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.

Remarque 

Une loi de probabilité se représente souvent sous la forme d'un tableau :
\(\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{Issues} &x_1&x_2&…&x_n\\\hline \text{Probabilités}&p_1&p_2&…&p_n \\\hline \end{array}\)

Exemple

Prenons l'exemple de l'expérience aléatoire consistant à lancer une pièce équilibrée et à noter si la face supérieure est « Pile » ou « Face ». On a la loi de probabilité suivante :

\(\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \text{Issues} &\text{Pile}&\text{Face}\\\hline \text{Probabilités}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2} \\\hline \end{array}\) 

Propriétés

• \(P(\Omega)=1\) et \(P(\emptyset)=0\).
  
• Pour tous événements \(\text{A}\) et \(\text{B}\) :
  \(0 \leqslant P(\text{A}) \leqslant 1\) 
  \(P(\overline{\text{A}})=1-P(\text{A})\)
  \(P(\text{A} \cup \text{B})=P(\text{A})+P(\text{B})-P(\text{A} \cap \text{B})\)
  

Remarque

La dernière formule peut se retenir avec le schéma suivant, appelé diagramme de Venn.